Зображення фігур. 10 кл

 

Геометрія • 10 клас • Стереометрія

Паралельне проектування

Зображення плоских фігур у стереометрії

Як оригінальні фігури (трикутники, чотирикутники, коло) трансформуються на кресленні під дією паралельного проектування.

0/8

Прогрес засвоєння теми 0%

3D Лабораторія Правила

1. Головні закони паралельного проектування

Що залишається незмінним, а що спотворюється на кресленні стереометрії

ЗБЕРІГАЄТЬСЯ (Властивості-інваріанти)

• Паралельність відрізків/прямих: якщо $AB \parallel CD$, то й $A'B' \parallel C'D'$.
• Відношення довжин паралельних відрізків: $AB : CD = A'B' : C'D'$.
• Поділ відрізка у заданому відношенні: Середина відрізка $M$ проектується в середину $M'$. Медіана трикутника залишається медіаною!

НЕ ЗБЕРІГАЄТЬСЯ (Змінюється на кресленні)

• Величини кутів: Прямий кут $90^\circ$ може зображуватися гострим або тупим! Висота трикутника НЕ є перпендикуляром на малюнку.
• Рівність непаралельних відрізків: Рівносторонній трикутник проектується у довільний трикутник.
• Відношення непаралельних відрізків.

2. Інтерактивна лабораторія проектування

Оберіть фігуру та змінюйте кут скосу й стиснення для спостереження проекції

Оригінал (2D площина) Зображення у стереометрії

Оберіть категорію та геометричну фігуру:

Оригінал фігури Проекція на кресленні (Стереометрія)

Параметри проектування

Кут скосу проектування ($\alpha$): 45°

Коефіцієнт стиснення ($k$): 0.60

Показувати внутрішні елементи (медіани / діагоналі) Відображати координатно-проекційну сітку

Рівносторонній трикутник

У стереометрії будь-який трикутник (рівносторонній, рівнобедрений, прямокутний) зображується у вигляді довільного трикутника. Проте медіана проводить потовщену лінію до середини сторони!

3. Правила зображення конкретних фігур

Зведений довідник зображень для трикутників, чотирикутників та кола

1. Трикутники

Будь-який $\Delta ABC \longrightarrow$ Довільний $\Delta A'B'C'$

Оскільки кути та рівність відрізків не зберігаються, зображенням довільного, рівнобедреного, рівностороннього та прямокутного трикутника є довільний трикутник.

Важливі особливості:

• Медіана завжди ділить сторону навпіл ($M'$ — середина).
• Бісектриса та висота у зображенні НЕ є бісектрисою чи перпендикуляром!
• Центр описаного/вписаного кола шукають за допомогою збереження відношень відрізків.

2. Чотирикутники

Паралелограм, Ромб, Прямокутник, Квадрат

Зображенням квадрата, прямокутника, ромба та паралелограма є довільний паралелограм (оскільки протилежні сторони паралельні).

Окремі випадки:

• Трапеція: Зображується трапецією із тим самим відношенням основ ($a:b$).
• Рівнобічна трапеція: Зображується звичайною трапецією (бічні сторони зображуються нерівними).
• Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

3. Коло та Круг

Коло $\longrightarrow$ Еліпс

Паралельною проекцією кола є закрита гладка крива — еліпс. Центр кола проектується у центр еліпса.

Властивості зображення кола:

• Взаємно перпендикулярні діаметри кола проектуються у спряжені діаметри еліпса.
• Будь-який хорда, що проходить через центр (діаметр), ділиться центром навпіл.
• Квадрат, вписаний у коло, проектується у паралелограм, вписаний в еліпс.

4. Інтерактивний тренажер: Відповідність зображень

Клацніть фігуру-оригінал, а потім оберіть її правильне зображення у стереометрії

Оригінали фігур (натисніть для вибору):

Рівносторонній трикутник $\Delta ABC$

Квадрат $ABCD$

Коло з центром $O$

Рівнобічна трапеція ($a:b = 2:1$)

Прямокутний трикутник з кутом $30^\circ$

Довільний трикутник

Довільний паралелограм

Довільна трапеція

Еліпс

5. Контрольні тестові завдання

Перевірте свої знання та розкрийте детальні розв'язання

Завдання 1 • Медіана та висота Складність: Базова

Дано зображення рівнобедреного трикутника $\Delta A'B'C'$ ($A'B' = B'C'$ в оригіналі). Яка з ліній на зображенні гарантовано є проекцією медіани, проведеної до основи?

Пояснення:

При паралельному проектуванні збереженню підлягає поділ відрізка навпіл (середина). Оскільки $M$ є серединою основи $AC$, її проекція $M'$ буде серединою $A'C'$. Тому відрізок $B'M'$ є зображенням медіани.

Перпендикулярність та величини кутів НЕ зберігаються, тому випущена перпендикулярно лінія чи бісектриса кута на зображенні не відповідають дійсності! $\blacksquare$

Завдання 2 • Зображення ромба Складність: Середня

Чи можуть діагоналі зображення ромба бути взаємно перпендикулярними на кресленні у стереометрії?

Пояснення:

Зображенням ромба є довільний паралелограм. У загальному випадку кут між діагоналями паралелограма на кресленні не дорівнює $90^\circ$. Проте, підбираючи спеціальний напрямок проектування, кут на проекції може виявитися прямим. Тому відповідь: Так, у окремих випадках. $\blacksquare$

Завдання 3 • Проекція кола Складність: Поглиблена

Точка $O'$ є проекцією центра кола $O$. Через $O'$ проведено дві хорди еліпса $A'B'$ та $C'D'$. Чи правда, що в оригіналі відрізки $AB$ і $CD$ діляться точкою $O$ навпіл?

Пояснення:

Будь-яка хорда еліпса, яка проходить через його центр $O'$, є зображенням діаметра кола. Оскільки центр кола ділить будь-який діаметр навпіл, за властивістю збереження середини відрізка $O'$ є серединою хорд $A'B'$ та $C'D'$. $\blacksquare$

Інтерактивний навчальний комплект з геометрії для 10 класу

Тема: Зображення фігур у стереометрії (паралельне проектування). Створено для наочного викладання уроку.